Contradomínios Numéricos em Espaços de Krein

A seção inicia estabelecendo o contexto do estudo do contradomínio numérico indefinido, contrastando-o com o contradomínio numérico clássico (ou campo de valores), cuja origem remonta à teoria das formas quadráticas. A notação “W” é apresentada como o símbolo mais utilizado para representar o contradomínio numérico. A importância do contradomínio numérico em fornecer informações sobre o operador, que o espectro sozinho não fornece, é destacada, mencionando sua utilidade na dedução de propriedades algébricas e analíticas do operador, na obtenção de majorantes e minorantes para sua norma e na localização do seu espectro. A riqueza da teoria do contradomínio numérico clássico e suas generalizações é enfatizada, citando suas aplicações em diversas áreas da Matemática Pura e Aplicada (Análise Matricial, Teoria de Operadores, Análise Numérica, Equações Diferenciais, Física e Arquitetura). A seção introduz os espaços de Krein como espaços vetoriais munidos de um produto interno indefinido, destacando seu papel promissor na Análise Funcional e sua importância na extensão do conceito de contradomínio numérico, com trabalhos pioneiros de Bayasgalan [4], Li, Tsing e Uhlig [37] citados. O objetivo principal de sistematizar as propriedades geométricas do contradomínio numérico indefinido é explicitado, justificando o foco em operadores que se reduzem a matrizes de ordem 2 ou 3, por razões de simplificação. A classificação de Newton para cúbicas [3] é mencionada como crucial para a caracterização do contradomínio numérico indefinido para matrizes de ordem 3.

Esta parte apresenta uma prova geométrica do Teorema do Contradomínio Hiperbólico, que determina o contradomínio numérico de operadores em espaços de Krein bidimensionais. Este teorema é um resultado paralelo ao Teorema do Contradomínio Elíptico para espaços de Hilbert. A mesma técnica geométrica é utilizada para deduzir ambos os teoremas, destacando a similaridade e a diferença entre os resultados para espaços de Krein e Hilbert. O contradomínio numérico indefinido para matrizes de ordem 2 é caracterizado, em contraste com o caso clássico, como sendo determinado por uma hipérbole, cujos ramos delimitam suas duas componentes convexas. A importância da redução de problemas ao caso bidimensional na teoria do contradomínio numérico clássico e suas generalizações é mencionada, com o Teorema do Contradomínio Elíptico desempenhando um papel chave. Trabalhos de Murnaghan [39], Donoghue [19] e Li [34] sobre o Teorema do Contradomínio Elíptico são citados. A distinção entre componentes convexas do contradomínio numérico é apresentada como sendo crucial para a compreensão do comportamento geométrico. A relação entre valores próprios, vetores próprios (anisotrópicos e isotrópicos) e o contradomínio numérico também é abordada, com exemplos que demonstram que nem sempre todos os valores próprios pertencem ao contradomínio numérico.

Esta seção justifica a redução do estudo do contradomínio numérico indefinido a matrizes de ordem 2 e 3, argumentando que, apesar da complexidade do estudo ser proporcional à ordem da matriz, muitas situações se reduzem a esses casos mais simples. A importância da curva associada na caracterização geométrica do contradomínio numérico indefinido é ressaltada. O texto explica a conveniência de reduzir o estudo a contradomínios numéricos induzidos por matrizes de inércia J, sem perda de generalidade. O método de Fiedler [20] para a equação de pontos é destacado como ferramenta útil na representação geométrica da curva associada. A complexidade do estudo para matrizes de ordem superior a 3 é mencionada, mas o trabalho se concentra nos casos base de ordem 2 e 3 para sistematizar as propriedades geométricas. A classificação de Newton para cúbicas é novamente apontada como relevante para a caracterização do contradomínio numérico indefinido em matrizes 3x3. A relação entre o contradomínio numérico e a curva associada em espaços de Krein é explorada, com ênfase em estender resultados válidos para espaços de Hilbert.

Esta seção foca na dedução da equação da curva associada ao contradomínio numérico indefinido. A equação é derivada em coordenadas de ponto homogêneas, um sistema de coordenadas que permite representar pontos no plano projetivo complexo. A caracterização das projeções da curva associada em relação às retas que passam pela origem do plano complexo é um ponto crucial, fornecendo informações importantes sobre a geometria da curva. O texto destaca a importância do uso de coordenadas homogêneas, permitindo uma representação mais completa da curva, incluindo os pontos no infinito. A discussão inclui o conceito de curva dual, que é obtida pela dualização da curva associada. A relação entre a curva e sua dual é explorada, e a não unicidade das coordenadas homogêneas é explicitamente mencionada. A seção também introduz o conceito de pontos no infinito e a reta do infinito no plano projetivo, que desempenham um papel importante na análise geométrica. O texto menciona que diferentes vistas afins de uma curva projetiva podem fornecer informações adicionais sobre ela.

A seção apresenta um método alternativo para obter a equação de pontos da curva associada, generalizando o método de Fiedler para o caso clássico. Este método é descrito como útil tanto teoricamente, pois fornece uma expressão para o polinómio que caracteriza a curva algébrica em coordenadas homogêneas, mostrando que seus coeficientes dependem unicamente da decomposição cartesiana-J da matriz em estudo, quanto na prática, mostrando que sua implementação no software Mathematica 5.1 é eficaz na determinação da equação para matrizes de ordem relativamente pequena. A discussão abrange a aplicação das fórmulas de Plücker e a classificação de Newton para cúbicas no estudo da curva associada, particularmente para matrizes de ordem 3. A classificação de Newton para cúbicas (72 espécies no plano afim, reduzidas a 5 no plano projetivo) é apresentada como ferramenta essencial na caracterização do contradomínio numérico indefinido. O método de dualização, usado para obter os esboços das curvas no Mathematica 5.1, é descrito, com exemplos ilustrativos dos cinco casos da classificação de Newton. O estudo considera o comportamento padrão das curvas, incluindo componentes ovais, cúspides, pontos de inflexão e tangentes múltiplas. A relação entre pontos no infinito de uma curva e tangentes da sua dual que passam pela origem é explicada.

Nesta seção, o texto discute as dificuldades adicionais na caracterização do contradomínio numérico indefinido (W_J(A)) pela curva associada (C_J(A)) em espaços de Krein. A principal dificuldade reside no conceito de invólucro pseudo-convexo, que introduz uma dicotomia na escolha de segmentos ou retas para definir a fronteira do contradomínio a partir dos pontos da curva associada. Nem sempre é possível obter W_J(A) tomando apenas o invólucro pseudo-convexo de C_J(A). Para contornar isso, a decomposição cartesiana-J da matriz A é novamente mencionada como uma ferramenta essencial. A discussão inclui o conceito de retas de suporte e sua relação com as componentes convexas do contradomínio numérico. A seção menciona que a curva associada gera a fronteira do contradomínio numérico somente em certas condições e que em casos degenerados a curva associada não desempenha um papel tão relevante. A seção conclui enfatizando que o conhecimento da curva associada C_J(A) não é, em geral, suficiente para caracterizar completamente o contradomínio numérico W_J(A), e que a decomposição cartesiana-J da matriz A é fundamental para superar esse obstáculo.

Esta seção se concentra na caracterização do contradomínio numérico indefinido para matrizes de ordem 2, especificamente para matrizes hermitianas-J, onde J é uma matriz de inércia de ordem 2. O caso onde a matriz A é igual a zero é excluído, pois o contradomínio numérico se reduz à origem. A análise considera dois cenários: matrizes com dois valores próprios complexos conjugados e matrizes com dois valores próprios reais (coincidentes ou não). A Proposição 2.14 é referenciada para mostrar que a curva associada (C_J(A)) coincide com o eixo real ou se reduz a um ou dois pontos desse eixo. O Teorema 3.3 é apresentado como o resultado principal desta seção, afirmando que, no primeiro cenário (valores próprios complexos conjugados), o contradomínio numérico (W_J(A)) é igual a ℝ. No segundo cenário (valores próprios reais), W_J(A) coincide com o eixo real, exceto por um segmento de reta aberto determinado pelos dois pontos, ou com o eixo real exceto por um dos pontos, caso estes sejam coincidentes. A situação particular onde a matriz hermitiana-J possui traço nulo é estudada em detalhe, sendo analisadas as implicações para os seus valores próprios (simétricos). As expressões (2.6) e (2.8) são mencionadas como podendo ser obtidas diretamente dos Teoremas 3.5 e 3.7, recorrendo à Proposição 3.8, para o caso indefinido.

A caracterização do contradomínio numérico indefinido para matrizes de ordem 3 é abordada nesta seção, adaptando o método de Kippenhahn [30] para o caso clássico, e utilizando a classificação de Newton para cúbicas. A classificação de Kippenhahn para o caso clássico (3 pontos, 1 ponto e uma elipse, ou curva irredutível e limitada) é referenciada, e seu paralelo no caso indefinido é discutido. A seção menciona que, ao contrário do caso clássico, o contradomínio numérico indefinido pode apresentar curvas associadas de todos os cinco tipos (C1-C5) da classificação de Newton, mas os tipos C2, C4 e C5 levam a casos degenerados. O método usado para determinar o contradomínio numérico inclui a análise da curva associada (C_J(A)), seu invólucro pseudo-convexo, e a consideração das projeções de W_J(A) em relação a retas que passam pela origem. Matrizes hermitianas-J com três valores próprios reais que determinam uma base de vetores próprios anisotrópicos-J são examinadas, resultando em duas possibilidades para W_J(A): a reta real inteira ou a reta real menos um segmento aberto determinado por dois valores próprios. A multiplicidade algébrica dos valores próprios é apresentada como crucial para uma caracterização uniforme do contradomínio numérico, particularmente nos casos onde a matriz possui um valor próprio em J₀(A). O Teorema 3.14 é referido como fornecendo uma caracterização uniforme para W_J(A) a partir da multiplicidade algébrica dos valores próprios.

Esta seção foca em matrizes 3x3 cujo contradomínio numérico indefinido apresenta, pelo menos, uma porção retilínea na fronteira. Os resultados obtidos são paralelos aos de Keeler, Rodman e Spitkovsky [29] no contexto do contradomínio numérico clássico. A seção explica que a determinação das regiões correspondentes às componentes convexas de W_J(A) (onde A = H_J + iK_J) se faz pela Proposição 3.13 (se 0 é valor próprio duplo de H_J) ou pelo Teorema 3.11 (se 0 tem multiplicidade 3). A impossibilidade de 0 ser valor próprio triplo de H_J quando H_J é diagonalizável por uma transformação unitária-J é mencionada. A discussão inclui exemplos que ilustram como determinar o contradomínio numérico indefinido de matrizes de ordem 3, usando o conhecimento da curva associada e suas projeções. É destacado que, para matrizes com entradas reais, a consideração de apenas uma projeção (em relação ao eixo real) é suficiente devido à simetria do contradomínio numérico-J em relação ao eixo real. A seção considera matrizes indecomponíveis-J com porções retilíneas em ∂W_J(A) contidas no eixo y, usando a Proposição 3.13 ou o Teorema 3.11 para determinar as regiões correspondentes às componentes convexas. O caso de H_J não ser diagonalizável por uma transformação unitária-J e a forma canônica da matriz A são mencionados.

A seção final da dissertação destaca problemas em aberto que surgem a partir da pesquisa realizada. Um ponto principal é a extensão da técnica utilizada para matrizes de ordem 3 para matrizes de ordem superior, especificamente ordem 4. No caso de matrizes de ordem 3, a classificação de Newton para cúbicas, e a análise da curva associada são cruciais; para ordem 4, a análise se torna significativamente mais complexa, envolvendo curvas de classe 4 (quárticas) e sua classificação, sendo a dualização uma possível abordagem. A dissertação observa uma diferença entre o caso clássico e o indefinido: enquanto Kippenhahn [30] demonstrou que no caso clássico não existem curvas associadas dos tipos C2, C4 e C5, os exemplos apresentados na seção 3.2 mostram que contradomínios numéricos indefinidos de matrizes de ordem 3 podem ter curvas associadas de todos os cinco tipos (C1-C5). No entanto, nestes exemplos, os tipos C2, C4 e C5 levam a casos degenerados. A questão da validade geral dessas observações é proposta como um problema relevante para futuras pesquisas. A complexidade da análise aumenta significativamente com o aumento da ordem da matriz, tornando a extensão dos métodos para ordens superiores um desafio considerável.

Outro problema em aberto gira em torno dos casos degenerados observados na caracterização do contradomínio numérico indefinido para matrizes de ordem 3. A dissertação nota que, nos exemplos analisados, curvas associadas dos tipos C2, C4 e C5 conduzem a casos degenerados, onde o contradomínio numérico (W_J(A)) coincide com o plano complexo (ℂ) ou com ℂ menos uma reta. Similarmente, curvas associadas dos tipos C1 ou C3 só originam casos degenerados quando são curvas limitadas. A investigação se essas propriedades são válidas em geral é apresentada como um problema intrigante. A compreensão da relação entre o tipo de curva associada (C1 a C5) e a natureza do contradomínio numérico indefinido é, portanto, uma área que requer investigação adicional, buscando padrões e regras que governam a conexão entre a geometria da curva associada e as propriedades do contradomínio numérico. A identificação das condições que levam a esses casos degenerados é um aspecto central deste problema em aberto.