Modelagem Matemática: Argumentação

A introdução destaca a pouca utilização da modelagem matemática nas escolas, apesar de seu desenvolvimento significativo nos últimos 40 anos. Atribui-se essa situação a fatores como limitações na formação dos educadores em modelagem, falta de tempo para preparação de aulas e carência de estudos que demonstrem a contribuição da modelagem para a aprendizagem matemática. O trabalho se propõe a contribuir nesse sentido, investigando os tipos de argumentações presentes em atividades de ensino de matemática com modelagem na escola básica. A pesquisa utilizou dois tipos de atividades: instrução matemática (revisão de conteúdos) e modelagem matemática (resolução de problemas reais), aplicadas em uma turma do segundo ano do ensino médio. A análise das manifestações dos alunos (em avaliações e diário de bordo) utilizou um quadro de categorias de linguagem e argumentação. Observou-se que o tipo de linguagem e argumentação depende da condução das atividades, sendo que, no processo de modelagem, argumentações baseadas em referências (experiências, pessoas e livros) são mais frequentes, enquanto argumentos dedutivos e de generalização tendem a aparecer na etapa final.

Esta seção faz uma revisão da literatura sobre argumentação matemática no ensino, incluindo trabalhos que não se referem explicitamente à modelagem. Cita-se a pesquisa de Aguilar Junior e Nasser (2014) sobre como professores desenvolvem e avaliam a habilidade de argumentação e prova em matemática, mostrando a falta de preparo dos professores para o ensino de provas e argumentação matemática. Também se menciona o trabalho de Carvalho e Ripoll (2013) que relaciona raciocínio dedutivo e desenvolvimento do pensamento matemático e a obra de Saddo Almouloud, com discussões teóricas sobre argumentos, provas e demonstrações no ensino e formação de professores. A modelagem é apresentada como um processo de investigação que usa a linguagem matemática para expressar ideias, aproximando-se das matemáticas aplicadas. A contextualização do conhecimento matemático é apontada como a principal propriedade explorada pela modelagem, respondendo à questão "para que serve a matemática?". A pesquisa busca associar os aspectos pragmáticos (modelagem) e argumentativos (ensino clássico) do conhecimento matemático.

A seção discute diferentes concepções sobre a natureza do conhecimento matemático, contrastando a matemática dedutiva (focada em estrutura, lógica e linguagem interna) com a modelagem matemática (que utiliza a linguagem matemática para descrever e intervir no real). A modelagem, nesse sentido, é comparada à matemática aplicada das culturas antigas. O texto explora a ideia de que a criação de proposições matemáticas muitas vezes se origina em observações concretas, medições e experimentos, com a formalização ocorrendo posteriormente. A discussão inclui a importância da linguagem matemática como ferramenta específica para expressar definições e propriedades matemáticas, comparando-a com a linguagem natural. A seção também critica o movimento da Matemática Moderna dos anos 1950, que supervalorizava a lógica e a linguagem formal em detrimento de aplicações e contextualização. A pesquisa busca um equilíbrio entre contextualização e argumentação matemática.

A metodologia da pesquisa é apresentada como descritiva e analítica. O objeto de análise são os elementos de argumentação presentes nas atividades de ensino e aprendizagem. A coleta de dados envolveu o acompanhamento de uma atividade didática, observando procedimentos, coletando registros escritos e manifestações orais para posterior análise. A pesquisa ocorreu em uma turma do segundo ano do ensino médio, com atividades de modelagem e atividades de ensino de matemática. A análise utilizou um quadro de categorias de linguagem e argumentação para classificar as manifestações dos alunos e do professor. Foram usadas atividades de modelagem na forma de perguntas diretas sobre determinação de coeficientes de funções (quadráticas e exponenciais), com o objetivo pedagógico de contextualizar o conteúdo e observar os tipos de argumentação.

A análise dos dados, baseada nas categorias de linguagem e argumentação, é apresentada em tabelas que mostram a frequência de cada categoria nas manifestações dos alunos e do professor. O objetivo não é obter resultados numéricos precisos, dada a subjetividade da análise, mas identificar as frequências gerais. A análise demonstra o predomínio da linguagem oral no início e no final do processo de modelagem, enquanto a linguagem matemática e a argumentação informal predominam na fase de matematização. Argumentações referenciadas foram mais frequentes na modelagem, enquanto as generalizações e argumentação lógico-matemática foram menos frequentes, surgindo principalmente na etapa final do processo argumentativo. A pesquisa mostra que diferentes tipos de linguagem são utilizados dependendo da condução da atividade. O estudo destaca a linguagem oral como presente em todas as etapas e a importância da interação social no processo de aprendizagem. A pesquisa contrasta a modelagem com a investigação matemática dedutiva e generalizadora.

As considerações finais destacam a identificação dos tipos de linguagem e argumentação presentes nas atividades de ensino e modelagem, com base nos registros em diário de bordo e avaliações escritas. A análise permitiu responder ao problema proposto, mas também apontou novas possibilidades de utilização das atividades, considerando diferentes linguagens e argumentações. A pesquisa mostra que os tipos de linguagens utilizados pelos alunos dependem da forma de condução das atividades, podendo ser oral, escrita, ou envolvendo materiais concretos. Os tipos de argumentação com menor frequência foram os que apresentam maiores dificuldades técnicas, como generalizações e argumentação lógico-matemática, visto que a modelagem prioriza a resolução do problema. A pesquisa indica que a linguagem oral está presente em todas as etapas da modelagem e matemática, sendo importante para a comunicação e aprendizagem. A busca da consistência dos argumentos para convencimento é um procedimento pedagógico relevante que conduz ao conhecimento científico. A pesquisa conclui sobre a importância de uma abordagem que contemple diferentes formas de argumentação e linguagem, contribuindo para uma aprendizagem mais significativa.

A seção inicia apontando a necessidade de mais pesquisas sobre argumentação matemática no contexto brasileiro, especialmente no ensino básico. Apesar do desenvolvimento da modelagem matemática nos últimos quarenta anos, com eventos como a CNMEM e diversas publicações, sua implementação significativa nas escolas ainda é limitada. Diversos fatores contribuem para essa realidade, como dificuldades dos educadores em justificar a utilização da matemática ensinada, pouco tempo para preparação de aulas e formação precária em modelagem. A falta de materiais didáticos voltados para o ensino básico também é apontada como um obstáculo. A ênfase no ensino de algoritmos em detrimento da lógica das proposições e demonstrações na educação básica é criticada, refletindo uma falta de preocupação com a argumentação matemática na escolha das atividades de ensino. No entanto, a seção sugere que é possível conduzir o ensino de forma a incentivar os alunos a expressarem argumentos matemáticos de várias formas, seja através de justificativas próprias, experiências vivenciadas ou apoio do professor e materiais concretos. Essa lacuna na pesquisa motiva a realização do estudo apresentado.

A seção apresenta uma revisão de pesquisas relevantes sobre argumentação matemática no ensino. A pesquisa de Aguilar Junior e Nasser (2014) é mencionada, analisando como professores desenvolvem e avaliam a habilidade de argumentação e prova em matemática, revelando uma falta de preparo dos professores e preferência por argumentos próximos ao modelo acadêmico. O estudo de Carvalho e Ripoll (2013) que relaciona o raciocínio dedutivo e o desenvolvimento do pensamento matemático também é destacado. A obra de Saddo Almouloud, com artigos como Nunes e Almouloud (2013) e Almouloud, Silva e Fusco (2012), é considerada significativa por agregar discussão teórica sobre argumentos, provas e demonstrações no ensino e na formação de professores. A pesquisa de Nunes e Almouloud (2013) com alunos do quinto ano do ensino fundamental, baseada em Toulmin (2006), é apresentada como um exemplo de estudo que permitiu aos alunos produzirem e testarem conjecturas, favorecendo a aquisição de competência argumentativa. O trabalho de Silva e Santos (2014) sobre a análise da argumentação matemática em um livro didático de geometria também é mencionado.

Esta parte da revisão bibliográfica discute a modelagem matemática como um processo de investigação que utiliza a linguagem matemática para expressar ideias, aproximando-se das matemáticas aplicadas e das práticas dos povos antigos. A principal propriedade explorada pela modelagem é a contextualização do conhecimento matemático, respondendo à pergunta 'para que serve a matemática?'. No entanto, a aprendizagem e a caracterização do tipo de matemática aprendida por meio da modelagem não recebem a mesma atenção. A linguagem matemática na modelagem é vista como uma ferramenta para descrever o real, e não apenas para o treino da linguagem matemática em si. O objetivo não é a consistência formal, mas sim a utilização da matemática como instrumento para intervir sobre o real, uma tarefa não exclusiva dos matemáticos, mas de diversos profissionais. A pesquisa apresentada busca associar os aspectos pragmáticos da modelagem com os aspectos argumentativos do ensino clássico, visando um equilíbrio entre contextualização e argumentação matemática nas atividades de Educação Matemática.

O objetivo principal da pesquisa é analisar os elementos de argumentação presentes nas atividades de ensino e aprendizagem de matemática, utilizando uma abordagem descritiva e analítica. Para alcançar esse objetivo, foi necessário acompanhar uma atividade didática, observando procedimentos, coletando registros escritos (avaliações) e manifestações orais dos alunos e professores. A pesquisa se caracteriza como descritiva porque descreve as ações dos alunos e professores em uma atividade de ensino, e analítica porque analisa essas ações, separando-as em categorias e classificando-as. O objeto de estudo são os elementos de argumentação, sendo a tarefa principal identificar, analisar e classificar esses elementos. Para isso, utilizou-se um quadro com categorias de linguagem e argumentação, detalhado na seção 4.2, para analisar as manifestações dos alunos (registradas em avaliações e diário de bordo). Essa metodologia permitiu analisar como os tipos de linguagem e argumentação se relacionam com a forma de condução das atividades didáticas.

A pesquisa utilizou dois tipos de atividades de ensino, aplicadas concomitantemente: problemas de modelagem e atividades de ensino de matemática. Os problemas de modelagem foram propostos na forma de perguntas diretas sobre a determinação de coeficientes de funções, visando contextualizar o conteúdo matemático para que os alunos percebessem a utilidade da matemática em situações reais. Apesar do caráter diretivo da modelagem (Tipo 1, segundo Barbosa, 2001), onde o professor fornece dados e problema, o objetivo pedagógico era a contextualização. O foco não era o desenvolvimento da modelagem em si, mas a observação dos tipos de argumentação em atividades de ensino. Os problemas de modelagem propostos envolveram o resgate de carbono da atmosfera e o crescimento e decomposição de um pé de alface. Os métodos de coleta de dados incluíram observação da atividade didática, registros escritos (avaliações) e manifestações orais dos alunos, anotadas em diário de bordo (Anexo B). A análise quantitativa buscou identificar a frequência de categorias de linguagem e argumentação, sem a pretensão de resultados numéricos precisos, devido à subjetividade da análise.

Para a análise das manifestações, foi desenvolvido um quadro de categorias de linguagem e argumentação, permitindo a classificação das observações em diferentes tipos de linguagem (oral, escrita, gráfica, matemática) e tipos de argumentação (referenciadas, dedutivas, generalizações, etc.). As tabelas 5.2 e 5.3 mostram a frequência dessas categorias nas manifestações, e embora a análise das falas seja subjetiva, a compilação das frequências permitiu identificar padrões gerais. A análise considerou a interdependência entre linguagem e argumentação, mostrando como o uso de uma linguagem específica pode influenciar o tipo de argumento utilizado. Por exemplo, um enunciado oral sem argumentação é classificado diferentemente de uma explicação com visualização (papel recortado). A análise também considerou manifestações que podem ter componentes de diferentes categorias. O objetivo da análise não era obter resultados numéricos precisos, mas sim identificar as categorias de linguagem e argumentação nas manifestações dos alunos e do professor, fornecendo uma visão geral sobre a frequência de cada tipo. A análise incluiu transcrições das manifestações dos alunos em itálico, encontradas nas tabelas e/ou no diário de bordo.

A pesquisa utiliza uma abordagem descritiva e analítica, focando nos elementos de argumentação presentes nas atividades de ensino e aprendizagem. A metodologia envolve o acompanhamento de uma atividade didática, observando procedimentos, coletando registros escritos e manifestações orais para análise posterior. A pesquisa é classificada como descritiva por descrever as ações dos alunos e do professor durante a atividade de ensino e analítica por analisar essas ações, classificando-as em categorias. O objeto de análise são os elementos de argumentação presentes nas atividades didáticas, requerendo a identificação, análise e classificação desses elementos. Para isso, foi desenvolvido e utilizado um quadro com categorias de linguagem e argumentações, com códigos para linguagens (A, B, C, D, E) e tipos de argumentações (I, II, III, IV, V, VI, VII), detalhado na seção 4.2. As manifestações dos alunos, sem identificação, foram transcritas em itálico e podem ser encontradas nas Tabelas 5.2 e 5.3 e/ou no diário de bordo (Anexo B).

A pesquisa utilizou dois tipos de atividades de ensino concomitantemente: problemas de modelagem e atividades de ensino de matemática. Os problemas de modelagem foram propostos como perguntas diretas sobre a determinação de coeficientes de funções, mesmo sendo um tipo mais diretivo de modelagem (Tipo 1, segundo Barbosa, 2001). A intenção pedagógica era contextualizar o conteúdo, mostrando a utilidade da matemática em situações reais. O objetivo não era o desenvolvimento da modelagem em si, mas sim a observação dos tipos de argumentação em atividades de ensino de matemática. Os problemas de modelagem incluíram temas como o resgate de carbono da atmosfera e o crescimento e decomposição de um pé de alface. A coleta de dados incluiu a observação de procedimentos, a coleta de registros escritos (avaliações) e de manifestações orais dos alunos, permitindo analisar as linguagens e argumentações empregadas. A análise das manifestações, mesmo com a subjetividade inerente, viabilizou respostas para o problema proposto, revelando a frequência das categorias de linguagem e argumentação. A análise das falas foi conduzida com o acompanhamento dos códigos das linguagens e tipos de argumentações propostos no quadro de categorias.

As tabelas 5.2 e 5.3 apresentam a frequência das categorias de linguagem e argumentação nas manifestações observadas. O objetivo da análise não foi obter resultados numéricos precisos, mas sim identificar as frequências gerais de cada categoria, considerando a subjetividade da análise das falas. A análise identificou a influência da forma de condução das atividades didáticas nos tipos de linguagens e argumentações utilizadas pelos alunos. Observou-se que, no processo de modelagem, os tipos de argumentação mais frequentes foram aqueles baseados em referências (experiências anteriores, pessoas e livros), com os argumentos dedutivos e de generalização tendendo a compor a etapa final do processo de argumentação. A Figura 5.1 ilustra o processo de modelagem como uma sequência de ideias expressas em diferentes linguagens, mostrando o predomínio da linguagem oral no início e fim da modelagem e a predominância da linguagem matemática e argumentação informal na fase de matematização. A análise também considerou diferentes possibilidades de utilização das atividades propostas, levando em conta diferentes linguagens e tipos de argumentações.

A metodologia empregada, que combinou aplicação em sala de aula com registros detalhados em diário de bordo e avaliações escritas, permitiu identificar os tipos de linguagem e argumentação presentes nas atividades de ensino e modelagem. A análise, apesar da subjetividade inerente, forneceu respostas a partir de uma situação real. No entanto, a análise do real também revelou novas possibilidades de utilização das atividades, sugerindo que outras linguagens e argumentações seriam possíveis. A pesquisa identificou que os tipos de linguagem utilizados pelos alunos dependem da forma de condução das atividades, variando entre linguagem oral/gestual (em aulas expositivas/dialogadas), oral/gestual e escrita/gráfica/textual (em atividades orientadas com respostas escritas) e oral ou escrita (com materiais concretos). A linguagem oral se mostrou presente em todas as etapas, tanto de modelagem quanto de matemática, exercendo sua função de comunicação natural. A pesquisa conclui que as atividades de modelagem e o estudo da matemática para modelar são ambientes de aprendizagem coletivos que complementam (mas não substituem) o modelo clássico do estudante solitário. Argumentos referenciados foram mais frequentes, enquanto generalizações e argumentação lógico-matemática foram menos frequentes, aparecendo na etapa final do processo.

A análise mostrou que os alunos se expressaram de diferentes maneiras e fizeram justificativas baseadas em seus conhecimentos prévios e entendimentos. A argumentação, no contexto da pesquisa, ocorreu em diversas situações, incluindo a modelagem matemática e atividades tradicionais de matemática. A busca pela consistência dos argumentos para convencer o outro é um procedimento pedagógico valioso que conduz ao conhecimento científico. Os tipos de argumentação com menor frequência foram aqueles que apresentam maiores dificuldades técnicas: as generalizações e a argumentação lógico-matemática. Esse resultado é coerente, pois a modelagem (e as atividades de ensino propostas) priorizam a resolução do problema e não a investigação da verdade das proposições utilizadas. A investigação matemática, dedutiva e generalizadora, é apresentada como a etapa final do processo de argumentação, conforme os exemplos da Tabela 5.5. Embora a formalização seja importante, especialmente para alunos que pretendem seguir carreira em matemática, ela possui limitações na escola básica, podendo ser atenuada com diferentes formas de argumentação e sofisticação de linguagem.

As considerações finais reforçam que a metodologia utilizada permitiu identificar os tipos de linguagem e argumentação, mas também abriu caminho para novas possibilidades, mostrando que outras linguagens e argumentações são possíveis além das observadas. A pesquisa aponta a importância de se considerar diferentes formas de argumentação e linguagem no processo de ensino-aprendizagem, incluindo a modelagem matemática, para incentivar a participação ativa dos estudantes. Embora a modelagem priorize a resolução de problemas, a pesquisa ressalta seu potencial para desenvolver a capacidade de investigação e argumentação, mesmo que não seja o foco principal. A pesquisa conclui que a integração de diferentes abordagens de ensino, com ênfase na investigação matemática, pode trazer ganhos significativos para a aprendizagem de matemática. A pesquisa sugere que futuras investigações podem explorar diferentes linguagens e tipos de argumentação em outras aplicações das atividades propostas, utilizando uma abordagem que considere não somente o 'o que é', mas também o 'o que poderia ser'.